Poisson Goalmodellen

De Poisson-verdeling beschrijft de kans op een gegeven aantal gebeurtenissen in een vast interval, wanneer die gebeurtenissen met een bekend gemiddeld tempo plaatsvinden en onafhankelijk zijn van elkaar. Typische voorbeelden: hoeveel auto's per minuut een bepaald punt passeren, hoeveel regendruppels per seconde op een vierkante meter vallen, hoeveel goals een ploeg scoort in een 90-minuten voetbalwedstrijd.

De enige parameter is lambda (λ) - het gemiddelde aantal gebeurtenissen per interval. Als de λ van een ploeg 1.8 goals per wedstrijd is, geeft de Poisson-verdeling je de kans dat ze precies 0 goals scoren (16.5%), precies 1 (29.7%), precies 2 (26.7%), precies 3 (16.0%), precies 4 (7.2%), enzovoort langs de staart. Het optellen van alle kansen boven 0 geeft je de kans dat ze minstens één keer scoren (83.5%).

Voetbalgoals worden verrassend goed beschreven door Poisson. De echte verdeling van ploegscores over een seizoen ligt dicht bij wat een Poisson-model met de juiste λ zou voorspellen. Dit is niet vanzelfsprekend - goals zijn niet volledig willekeurig of onafhankelijk (het scoren van de eerste goal verandert hoe beide ploegen spelen), maar de afwijking van een pure Poisson is klein genoeg dat het meestal een goede benadering is.

Een twee-ploegen Poisson-model schat een aparte λ voor elke ploeg - de aanvallende kracht van de thuisploeg aangepast voor de verdedigende kracht van de uitploeg, en vice versa. Dan neemt het aan dat de twee scores onafhankelijke Poisson-trekkingen zijn en berekent de gezamenlijke kans op elke mogelijke eindstand. Tel de kansen op waar thuis > uit voor de thuiswinkans, waar thuis = uit voor gelijkspel, waar thuis < uit voor uitwinst.

De sterkte-van-schedule aanpassing maakt veel uit. Een ploeg die 2.0 goals per wedstrijd heeft gescoord maar alleen tegen zwakke verdedigingen heeft een lagere echte λ dan een ploeg die 2.0 goals per wedstrijd tegen sterke verdedigingen heeft gescoord. De oplossing is om de aanvallende en verdedigende kracht van elke ploeg uit te drukken relatief aan het competitiegemiddelde, zodat λ_thuis = competitie_gem × thuis_aanval × uit_verdediging × thuisvoordeel. Dit is de Dixon-Coles-stijl formulering die de meeste moderne implementaties gebruiken.

Zodra je de eindstand-kansmatrix hebt, kun je elke voetbalwedmarkt eruit afleiden: 1X2 (som over de driehoeken), Over/Under totals (som over de diagonalen), Beide Teams Scoren (som over het kwadrant waar beide ploegen ≥ 1 scoren), Asian Handicap (verschuif de diagonalen met de handicaplijn), correct score (lees direct uit de matrix). Eén Poisson-surface, één bron van waarheid.

De ene plek waar pure Poisson aantoonbaar vastloopt is laag-scorende wedstrijden. Pure Poisson met onafhankelijke ploegscores onderpredict de frequentie van 0-0 en 1-1 gelijkspellen en overpredict de frequentie van 0-1 en 1-0 uitslagen. De afwijking is niet enorm (~1–2% op elke eindstand) maar hij is systematisch, en in een business waar edges in enkele procentpunten worden gemeten maakt het oplossen ervan uit.

Mark Dixon en Stuart Coles publiceerden in 1997 een paper die een vier-parameter correctie toevoegde aan de Poisson gezamenlijke verdeling. De correctie blaast specifiek de kansen van 0-0 en 1-1 op en laat 0-1 en 1-0 krimpen, zonder effect op enige andere eindstand. Het mechanisme is een correlatieparameter die alleen activeert op de 0-0 / 1-1 / 0-1 / 1-0 cellen van de eindstand-matrix.

Elk serieus Poisson-gebaseerd voetbalmodel gebruikt vandaag de dag een vorm van deze aanpassing. De Poisson-kop van BetsPlug draait een Dixon-Coles-stijl correctie bovenop de basis Poisson-verdeling, met de correlatieparameter per competitie gefit (Serie A ligt hoger, wat de verhoogde gelijkspelpercentage weerspiegelt; Bundesliga ligt lager). Het effect op 1X2-voorspelnauwkeurigheid is klein maar echt - ongeveer +0.3 procentpunten log-loss verbetering op holdout data.

Poisson veronderstelt constante intensiteit over de 90 minuten, maar voetbal werkt zo niet. Ploegen scoren met verschillende snelheden afhankelijk van de stand: leidende ploegen verdedigen, achtervolgende ploegen vallen aan, gelijkspelende ploegen variëren in urgentie. Pure Poisson over-predict hoog-scorende wedstrijden omdat het het 'wedstrijd uitspelen' effect negeert, waar een 2-0 leider de bus parkeert en beide ploegen effectief stoppen met proberen.

De andere faalmodus is extreme mismatches. Wanneer een top-drie-ploeg tegen een onderste-drie-ploeg speelt, geven de rauwe Poisson-getallen de underdog vaak een 2–3% winstkans, maar historisch winnen die underdogs meer zoiets als 4–5%. De reden is dat voetbal af en toe chaotisch is op een manier die de normale-verdeling aannames onderwegen - rode kaarten, geluk, eerste-minuut goals die de tactische context veranderen.

Het ensemble van BetsPlug omzeilt deze gebreken door Poisson te combineren met Elo en logistische regressie. De Poisson-kop geeft scherpe kansschattingen op gebalanceerde wedstrijden; de Elo-kop geeft robuuste ankerschattingen op mismatches; de logistische kop pakt korte-termijn vormverschuivingen op die Poisson niet ziet. Het ensemble meta-model weegt ze op basis van hoe goed ze hebben gepresteerd op vergelijkbare wedstrijdarchetypes in het verleden.